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各年级教学奥数参考知识体系

来源:同升国际.送38 责任:同升国际 发布时间:2016-03-24 15:20:11    标签:奥数 体系 年级

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一年级知识精华总结

 

(一) 数与计算

一、 简单的数的认识

1周数数有多少  物体的个数不仅可以按照顺序一个一个地数,还可以从小到大几个几个地数。

2周比多比少    比较几行图中的物体的多少,可以对应作比较,还可以根据其中一种物体的个数与物体之间的多少关系来判断。

3周几和第几    一个数可以表示几,也可以表示第几。

二、 简单的数的规律

18周找规律填数  根据已知数之间的关系,进行合理的分析、推算,可以找出规律得到应该填入的数。  

24周单数和双数  单数与双数相加、相减有如下特点:

1)双数+双数=双数

双数—双数=双数

2)单数+单数=双数

单数—单数=双数

1)双数+单数=单数

双数—单数=单数

单数—双数=单数

三、 数与计算

16周填数字    根据已知数之间的关系,进行合理的分析、推算,就可以得到填入的数。

27周算式猜谜  统观全局,掌握特点,根据一定的法则和逻辑推理的方法,就能找到汉字、字母、符号、图形等代表的数字。

28周巧算速成(一)  在计算20以内进位加、退位减时,可以根据数的特征,采用灵活的方法进行巧算,使计算简便。

32周“+”“—”和“( )”  在数与数之间填上适当的运算符号和括号,可以改变运算结果或顺序。

35周合理分组  要善于观察、分析所给的数,找出其中的规律,在此基础上,大胆地进行尝试。

37周巧算速成(二)  计算时,采用合理改变运算顺序等多种方法进行凑整计算,可以算得有对又快,使计算简便。

(二) 图形与规律

一、数一数

6周数数线段  “.”叫“点”,“——”叫“线段”。线段必须是直的,有两个端点。

10周数数块数  可以一层层地数,或一排排地数,也可以先数看得见的积木块,再数看不见的积木块。

15周数数图形  数的时候,要仔细观察,注意有条理,有次序地数,做到既不重复又不遗漏。

四、 简单的图形规律

5周谁的眼力好  既要找到图形间的共同特征,又要找到它们的不同之处,找出整体与部分的关系。

7周不重复的路  图形中如果没有单数点,或只有两个单数点,一定可以一笔画成;其它情况的图形都不能一笔画成。单数点在一笔画中只能作为起点或终点。

8周观察与思考  认真观察图形、事物的变化过程,就可以发现它们的变化规律,找出它们的特征,从而解决问题。

11周找规律画图  从前面的图形形状、颜色、位置的变化和排列的顺序等方面进行观察、分析,就能正确地画出后面的图形。

五、 折、剪、拼

13周图形折剪拼  通过折剪拼,可以讲长方形、正方形、三角形、圆形这些基本图形互相变化。

14周妙拼七巧板  用一副七巧板可以拼成许多美丽有趣的图案。

(三) 简单的分类、比较、判断和推理

一、 简单的分类

4周相同与不同  有条理地把具有相同作用的东西放在一起,会使我们的生活方便许多。

二、 简单的比较

12周猴子吃桃  比较路线的长短可以用数线段的方法,也可以用一段对应一段的方法。

三、 简单的判断

26周简单的判断  认真审题,仔细分析,进行有理有据的推理,有利于找到问题的答案,做出正确的判断。

四、 简单的推理

19周简单的推理  多观察、多动脑、多分析,可以培养观察能力和分析能力。

21周变与不变    添加一些物体,总量就会增加,取出一些物体,总量就会减少。仅仅改变物体的形状,物体的总量不会发生变化。

36周天平平衡    根据已经知道的一些图形条件和一些等式,通过分析、判断、推理,最后得出结论,这个过程就是“逻辑推理”。

(四) 解决实际问题

一、一般实际问题

9周简单的应用  已知两个部分数量求总数量,用加法计算;已知总数量和一个部分数量,求另一个部分数量,用减法计算。

30周小兔吃萝卜  从已有的条件出发,根据问题,弄清它们之间的关系,就可以确定正确的解题方法。

二、特殊实际问题

17周猜猜他几岁  每过一年,每人年龄都要增加一岁,但是两个人的年龄差是不会变的。

22周排队去秋游  以一行人中的其中一人为标准来数人数,知道这个人从左往右(或从前往后)数的位置,以及从右往左(或从后往前)数的位置,就可以求出一行的人数了。

23周移多补少    如果有两组数量不同的物体,只要通过观察、比较,找出哪组多,多几个,然后把多的部分平均分成两份,其中的一份补给少的那一组,这样两组物体的数量就同样多了。

25周没有那么简单  有关间隔问题要从不同的角度去认真思考问题,再正确解答。

(五) 趣题名题

20周火柴棒游戏(一)  用火柴棒可以拼成许多的有趣图形。

29周火柴棒游戏(二)  火柴棒还可以组成有趣的算式,增、减或移动算式中的火柴棒,可以使算式发生奇妙的变化。

31周猫捉老鼠         思考这类问题时,我们要细心,避免落入“圈套”。

38周趣味问题         认真审题,弄懂题目的意思,看清所问的问题,就能正确解答。

40周鸡兔同笼         解决一些较难的题目,可以用画图的方法,把题目的条件画出来再思考。

(六)可能性

33周趣摸彩球  事情发生的可能性有大有小,当袋中两种球数量相等时,任意摸一个摸

到两种球的可能性一样;当袋中两种球的数量不相等时,任意摸一个,摸到数量多的球的可能性就大,而摸到数量少的球的可能性就小。

(七)简单的排列组合

34周付钱的方法  日常生活中,由于面值不同,付钱的方法也各不相同,人们常常要根据实际情况来选择一种简便的付钱方法。

39周有几种走法  生活中为了列举出所有的路线,要有顺序地进行组合,注意做到不重复、不遗漏。

 

 

二年级知识精华

 

(一)数与计算

· 简单的数的认识

第38周数的读写    比较数的大小,先从最高位比起。把几个数字按从大到小顺序排,可组成最大的数,把数字按从小到大排,可组成最小的数(最高位不能为0).如果要知道一共组成几个数,就将几个数字依次排在最高位,再确定其余各位是什么数字。

· 简单的数的分解

第32周数的分解  分拆数时,要弄懂题意,如要拆成规定个数相加,可按从大到小顺序拆;如没有规定,可按从少到多的顺序拆。

· 简单的数的规律

第3周规律填数    根据已知数之间的关系,进行合理的分析、推算,可以找出规律得到应该填入的数。

第30周巧妙填数   会分析、推理,尽量运用分散思维、求异思维,把各种可能的答案想出来。

· 数与计算

第12周移移变变  火柴棒还可以组成有趣的算式,增、减或移动算式中的火柴棒,可以使算式发生奇妙的变化。

第14周数字游戏  在数与数之间填上适当的运算符号和括号,可以改变运算结果或顺序,有实验法、凑数法等。

第16周巧填竖式(一)  统观全局,掌握特点,根据一定的法则和逻辑推理的方法,就能找到汉字、字母、符号、图形等代表的数字。

第17周余数妙用(一)  根据已知数之间的关系,进行合理的分析、推算,就可以得到填入的数。

第22周巧填竖式(二)  要分析算式的特点,运用加减的运算法则来推断每一个数。选准“突破口”,先填什么,再填什么。

第24周余数妙用(二) 首先吧重复出现的部分作为一组,再想总数里有几个这样的一组,再根据是否有余数,余数是几,来判断结果。

第26周简便计算(一)  计算时,采用合理改变运算顺序等多种方法进行凑整计算,可以算得有对又快,使计算简便。多加了要减,少加了要补,多减了要补,少减了再减。

第27周简便计算(二)  在加减乘除混合运算是,掌握“先加后减或先减后加,先乘后除或先除后乘结果不变”的性质,先算整百、整十。几个连续数的和,可取一个数为基准数计算。

二)图形与规律

· 数一数

第7周数数图形   数线段和图形的时候,要仔细观察,注意有条理,有次序地数,做到既不重复又不遗漏。

· 简单的图形规律

第1周比比眼力    既要找到图形间的共同特征,又要找到它们的不同之处,找出整体与部分的关系。

第2周火眼金睛    认真观察图形、事物的变化过程,就可以发现它们的变化规律,找出它们的特征,从而解决问题。

第5周一笔画成  图形中如果没有单数点,或只有两个单数点,一定可以一笔画成;其它情况的图形都不能一笔画成。单数点在一笔画中只能作为起点或终点。

· 折、剪、画、拼

第4周比比分分(一)借助方格图数一数每条线段占的格数,横的、竖的、斜的分别比。绳子对折一次有一处相连,再对折,有两处相连,剪开后的段数须去掉相连的几处。

第8周连连剪剪   剪绳子,剪成的段数比见得次数多1,爬楼梯,爬的层数比楼层数少1.

第11周比比分分(二)解决切水果这类问题,首先要读懂题意,读清要求然后画图或动手试一试。

(三)简单的分析、比较、判断、转化和推理

· 简单的转化

第15周相等问题  首先分析两个数量之间的关系,再移多补少,要区分三种情况:移至相等(仪的部分是相差部分的一半),由相等移为不等(相差的部分是仪的部分的两倍),不等还移为不等(弄清原来数量之间的关系)。要根据不同情况不同分析。

· 简单的推理

第20周简单的推理(一)  多观察、多动脑、多分析,可以培养观察能力和分析能力。两个完全相等的量,可以互相代换,选择简单易求的两个等式比较。

第23周简单的推理(二)    根据加减乘的意义和各种图形之间的关系来解答,可用分析法、代入法、推算法等得出结论。

第31周简单推理(三)   根据已经知道的一些条件、图形和结论,逐一推理,得出结论后,还要将结论带到原题中检验。

四)解决实际问题

一、一般实际问题

第19周解决问题(一)  先找出条件和问题,根据已知的,找到隐蔽的条件,比较时,一定要弄清谁多谁少,求的是哪一个数量,在确定正确的算法。

第21周解决问题(二)  求几个几或几的几倍是多少,用乘法计算;把一个数平均分几份,求每份是多少或一个数有几个几,用除法计算。

第34周解决问题(三)  从已有的条件出发,根据问题,弄清它们之间的关系,就可以确定正确的解题方法。

二、特殊实际问题

第13周移多补少    如果有两组数量不同的物体,只要通过观察、比较,把多的部分平均分成两份,其中的一份补给少的那一组,这样两组物体的数量就同样多了。

第25周年龄问题   每过一年,每人年龄都要增加一岁,但是两个人的年龄差是不会变的。

第33周排队问题    以一行人中的其中一人为标准来数人数,知道这个人从左往右(或从前往后)数的位置,以及从右往左(或从后往前)数的位置,就可以求出一行的人数了。

(五)趣题名题

第6周趣味数学(一)  在出现两种或两种以上可能时,根据规律、举例和生活常识判断解决问题。

第9周间隔趣谈(一)  爬楼梯,楼数比楼梯层数多1;锯木头,段数比锯木头的次数多1;敲钟,敲的次数比敲的间隔数多1.

第10周趣味数学(二)   思考乘车、坐船、吃饭这类生活中的问题时,我们要细心,认真读题,从生活实际出发,可先假设一个结论,再对照所给条件,找到符合的结果,避免落入“圈套”。

第18周间隔趣谈(二) 栽树问题,两端都栽,树的棵树比间隔数多1;两端不栽,树的棵树比间隔数少1.

第28周间隔趣谈(三) 植树问题,围成一个圆,棵树和间隔数相等,要求种的棵树最少,公用的棵树要多,反之,公用的棵树要少。

第29周画画凑凑     解决类似鸡兔同笼的题目,可以用画图凑数的方法,假设全是退烧的动物,所画腿的条数定比条件中腿的条数少,再根据两种动物腿的条数差,用少的条数除以腿的条数,就得出腿少的动物的只数。

第39周数学游戏  要是道道最后一个人获胜,首先要决定谁先拿,如果物品总数除以两人每次取物品个数的和,没有余数,就让对方先拿,自己拿的个数必须和对方拿的合起来是两人每次取的和。

第40周综合练习  认真审题,仔细分析,进行有理有据的推理,有利于找到问题的答案,做出正确的判断。

(六)时间问题

第36周时钟问题(一)  从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间,时间可通过计算得来。知道1=60分,1=60

第37周时钟问题(二) 不仅与时间的知识有关,海域平均分、间隔等数学问题有联系,要将所学的知识综合起来解决问题。

(七)简单的排列组合

第35周合理安排   短时间内完成几件事情,要理清哪几件事可同时做,如果某几件事不可以同时进行,按时间从少到多的顺序排列。

 

三年级知识精华

 

(一) 数与计算

   一、数的规律

2周 寻找规律   按照一定的顺序排列的一列数,只要从连续的几个数中找到规律,就可以知道其余的数。        

7周 填数游戏   仔细观察图形,确定图形中的关键位置应该填几。      

   二、数与计算

3周 加减巧算   在进行加减巧算时,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算的方法。  

4周 巧添符号   给算式添加运算符号和括号,使等式成立。      

5周 算式之谜   仔细观察算式特征,由推理能确定的数先填上;不能确定的,要分几种情况,逐一尝试。          

6周 文字之谜   仔细观察算式特征,认真分析,正确选择解题的突破口,通过尝试寻找正确答案。

8周 有余除法   余数已知,先确定除数,再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。

12周 乘法速算  多位数与一些特殊的数相乘,可以用简便的方法来计算。

13周 乘除巧算  “凑整”的方法可以运用在乘、除计算中。

(二)图形与规律

 一、数图形

1周 数数图形   要想不重复也不遗漏地数出图形的个数,首先要弄清图形中包含的基本图形是什么。  

 二、图形与计算

35周 巧求周长(一)  运用平移的方法转化为标准的长方形或正方形。      

36周 巧求周长(二)  灵活运用长方形、正方形的周长公式进行计算。

37周 面积计算        利用添加辅助线或运用割补、转化等技巧解决。

(三)解决实际问题

一、一般实际问题

14周 解决问题(一)  借助线段图分析应用题的数量关系。  

15周 解决问题(二)  掌握应用题的数量关系,了解应用题中条件和条件、条件和 问题之间的联系。

22周 “对应”解题    把题目中的数量关系转化为等式,并把这些等式按顺序编号,寻找解题突破口。

30周 “还原”解题   根据题意从结果出发,按它变化的相反方向一步步倒着推想。

31周 “假设”解题   通过合理地进行“假设”,是问题得到解决。

40周  一题多解      根据题目的具体情况,确定思维的起点,然后沿着不同的思考方向,找到不同的解题方法。

二、特殊实际问题

9周   周期问题   找出不断重复出现的规律,利用除法算式求出余数。

18周  重叠问题   当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排出重复部分。

20周  等量代换   根据已知条件与未知数量之间的关系,用一个未知数量代替另一个未知数量。

23周  盈亏问题   求出总差额和两次分配的数量差,利用基本公式求出分配者的人数,进而求出物品的数量。

25周  和倍问题   找出两数的和以及与其对应的倍数和,求出1倍数。

26周  差倍问题(一)  找出差所对应的倍数,求出1倍数。

27周  差倍问题(二)  复杂的差倍问题不能直接利用公式进行解答,这时要注意隐含条件,同时要借助线段图帮助理解题意。

28周  和差问题     用假设法,同时结合线段图进行分析。

32周 “平均数”问题(一)  求出总数量和总份数,根据“总数量÷总份数=平均”这个数来那个关系式来解答。  

33周 “平均数”问题(二)  先确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份 数”,再求平均数。

(四)趣题名题

10周  数学趣题  不需要进行复杂的计算,不能用常规方法来解决,需要用灵感、技巧和机智获得答案。

11周  火柴游戏  用火柴棒可以摆出各种有趣的图形、数字、运算符号,在算式中移动火柴棒,还可以使等式成立。

16周  植树问题  植树问题可以分为三种情形。

17周  数字趣谈  自然数列中有很多有趣的计数问题,一般采用尝试探索和分类统计法来解决。

29周  年龄问题  两个不同年龄的人年龄之差始终不变,但两个人年龄的倍数关系却在不断变化。

38周  最佳安排  合理地安排时间,往往会达到事半功倍的效果。

39周  抽屉原理  应用所学的数学知识制造“抽屉”,巧妙加以应用。

(五)分类、推理

一、分类

19周  简单枚举  运用枚举法解题时,必须注意不重复不遗漏。

二、倒推

21周  错中求解  从错误的结果入手,利用和差的变化求解。

三、推理

24周  简单推理(一)  仔细观察,认真分析等式中几个图形之间的关系,需找解题的突破口。

34周  简单推理(二)  先假设一个结论是正确的,然后验证它是不是符合所给的一切条件。

 

 

四年级知识精华

 

(一) 数与计算

一、 简单的数的规律

12周寻找规律(一)(二)

根据已知数之间的关系,进行合理的分析、推算,可以找出规律得到应该填入的数。

910周变化规律(一)(二)  

和的变化规律:一个加数不变,另一个加数增加或减少几,和就增加或减少几;一个加数增加几,另一个加数减少相同的数,和不变。

差的变化规律:被减数不变,减数增加或减少几,差就减少或增加几;减数不变,被减数增加或减少几,差就增加或减少几;被减数和减数同时增加或减少几,差不变。

积的变化规律:一个乘数不变,另一个乘数乘或除以A0除外),积就乘或除以A;一个乘数乘或除以A,另一个乘数除以或乘A,积不变。

商的变化规律:被除数不变,除数乘或除以A0除外),商就除以或乘A;除数不变,被除数乘或除以A,商就乘或除以A;被除数和除数同时乘或除以A,商不变。

二、 数与计算

56周算式之谜(一)(二)  可以根据已经学过的四种运算的运算法则,分析数据直接突破口,逐步试验,找到确定算式中的未知数字和运算符号。

第8、16周巧妙求和(一)(二)  对于等差数列求和,我们一定要掌握三个公式:

第几项的值=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)÷公差+1

=(首项+末项)×项数÷2

11周错中求解  熟练掌握加、减、乘、除各部分之间的关系,恰当运用和、差、积、商的变化规律。

202133周速算与巧算(一)(二)(三)

简便运算主要根据加、减、乘、除法的运算定律和运算性质,通过对算式进行适当的变形,改变它的运算顺序,将其中的数转化成整十、整百、整千的数,从而使计算简便。

23周定义运算  对两个数或几个数之间定义一种新的运算,在解题时,我们要找准对应法则,不同的法则代表不同的运算。

36周二进制题  二进制只有01两个数字,“满二进一”。

(二) 图形与规律

15周图形问题  细心观察,把握图形特点,将不规则图形转化成我们学过的规则图形,运用好长方形的面积=长×宽,正方形的面积=边长×边长两个公式。

1718周数数图形(一)(二)  要准确的数出复杂几何图形中含有多少个基本图形,必须仔细观察,弄清被数图形的特征和变化规律,按一定的顺序数,做到不重复、不遗漏。

28周周期问题  解题关键是找规律,找出周期,确定周期后,用总量除以周期。如果正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个;如果比整数个周期多n个,那么结果为下一个周期里的第n个;如果不是从第一个开始循环,可以从总量里减掉不是循环的个数后,再继续算。

(三)简单推理、列举和逻辑推理

一、 简单推理

3周简单推理  从条件中找出关键条件作为推理的突破口,推理应有条理地进行,充分利用已经得出的结论,将其作为进一步推理的依据。

二、 简单列举  

12周简单列举  列举时要注意有条理的列举,不能杂乱无章的列举,列举时按范围和各种情况分类考虑(1)选择其中的一种情况一一列举,然后用这种情况的数量×几种相同的情况=总的数量,(2)排除不符合条件的情况,缩小列举范围。

三、 逻辑推理  

32周逻辑推理  在推理的过程中,不断排除不可能的情况,对可能出现的情况作出假设,然后再根据条件推理,如果得到的结论与条件不符,则假设不成立,有时我们可以借助图标进行推理。

(四)解决实际问题

一、解决一般的实际问题

419周解决问题(一)(二)

认真审题,理解题意,通过对条件进行比较、转化、重新组合等手段,利用线段图或表格等方法分析题目中数量之间的关系,从而找到解题的突破口,使问题顺利得到解决

22周平均解题   平均数问题的基本数量关系式:总数÷份数=平均数,解决平均数问题的关键是要确定“总数”以及与总数相对应的“份数”,有时也可以用移多补少的方法,或找一个基数,用基数+各数与基数差的和÷份数=平均数。

二、特殊实际问题

13周和倍问题   和倍问题的基本数量关系:和÷(倍数+1=小数  

-小数=大数或小数×倍数=大数

24周差倍问题   差倍问题的基本数量关系:差÷(倍数-1=小数  

+小数=大数或小数×倍数=大数

 

25周和差问题

和差问题的基本数量关系:

1)(和-差)÷2=小数  

-小数=大数或小数+=大数

2)(和+差)÷2=大数

-大数=小数或大数-=小数

27周和差倍题  将复杂的问题通过转化成和倍、差倍、和差问题,利用这些问题的数量关系式解决。

2934周行程问题(一)(二)  行程问题包括相遇问题和追及问题,解决行程问题时要理清速度、时间、路程之间的关系,紧扣基本数量关系:相遇问题:速度和×时间=路程和,追及问题:速度差×时间=路程差。

三、解决稍复杂的问题

3738周解决问题(三)(四)  这类问题的数量关系比较隐蔽,需要通过适当的转化,使数量关系明朗,从而找到解决问题的思路。

(五)趣题名题

7周最优问题    解决此类问题,要树立统筹思想,能同时做的事情,尽量同时做。如果遇到“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等问题可以从极端情况去探讨它的最大(小)值。

14周植树问题  

植树问题关键弄清总距离、间距和物体个数的关系。分两种情况:

1封闭图形:物体个数×间距=总距离

2不封闭图形   两头栽    (物体个数+1)×间距=总距离

两头都不栽  (物体个数-1)×间距=总距离

一头栽一头不栽  物体个数×间距=总距离

26周巧算年龄   解决年龄问题要灵活运用三条规律:

1无论什么时候,两人的年龄差永远不变。

2随着时间的推移,几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。

3随着时间的变化,两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。

30周假设解题   运用假设法解题的关键是将两个未知量假设成同一种量,然后根据所作的假设,注意数量关系发生的变化并作出适当的调整。

31周还原问题   利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推运算。简单的还原问题可直接列式一步步倒着推算;对于变化较复杂的,可借助列表和画图的方法来帮助解决问题。

35周容斥问题

 

 

事物的个数=A+B-nn为既属于A也属于B的个数)

39周盈亏问题

盈亏问题的输入量关系:

1、(盈+亏)÷两次分配的差=份数

大盈-小盈)÷两次分配的差=份数

(大亏-小亏)÷两次分配的差=份数

2、每次分的数量×份数+=总数量(每次分的数量×份数-=总数量)

40周开放数学   解答开放题,需要我们从不同的角度分析和思考问题,紧密联系实际,具体问题具体分析。 通常以问题为指向,对现有条件进行筛选、补充和组合,促进问题的有效解决。

 

 

五年级知识精华

 

(一) 数与代数

一、 数的认识

第1周 平均数  

把几个不相等的数,在总和不变的条件下,通过“移多补少”,使它们完全相等,得到的数就是平均数。

解决平均数的数量关系必须牢记:

下面的数量关系必须牢记:

平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

第6周 尾数和余数  

自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

第25周 最大公约数  

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数,其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最大公约数记做(a、b)。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数法和短除法等方法。

第26、27周 最小公倍数  

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记做[a、b]。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:

最大公约数×最小公倍数=两数的乘积

即(a、b)×[a、b]=a×b

最小公倍数的应用题,解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,使问题转换成已知数的最小公倍数,从而求出结果。

二、 数的规律

第2周  等差数列  

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)×d,利用它可以求出等差数列中的任何一项。

第23周 分解质因数

把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。掌握并灵活应用分解质因数的知识,能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。

三、 数与计算

第10周 数阵  

解答数阵问题通常用两种方法:一是待定数法,二是试验。

待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定选数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况确定应填的数。

第20周 数字趣味题

解答数字问题可采用下面的方法:

1、 根据已知条件,分析数或数字的特点,寻找其中的规律;

2、 将各种可能一一列举,排除不符合题意的部分,从中找出符合题意的结论;

3、 找出数中数字之间的相差关系和倍数关系,转化成“和倍”、“差倍”等问题。

4、 条件复杂时,可将题中条件用文字式、竖式表示,然后借助文字式、竖式进行分析推理。

第32周 算式谜

解答算式谜的关键是找准突破口,推理时应注意:

1、认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件,选择有特征的部分做出局部判断

2、采用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合题意的数字。

3、算式谜解出后,务必要验算一遍。

(二) 图形与规律

一、数一数

第5周 数数图形  在解决数图形的问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择恰当的方法,既可以逐个计数,也可以吧图形分成若干个部分,先对各个部分按照各自的构成规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来。

二、 图形的计算

第3周 长方形、正方形的周长

掌握转化的思想方法,把复杂的图形转化为标准的图形,以便计算他们的周长。

第4周 长方形、正方形的面积  

利用“割补”“平移”“旋转”等方法,使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题,从而正确解答。

第13周  长方体和正方体

解答稍复杂的立体图形问题要注意:依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。

第14周  长方体和正方体

1、将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;

2、两个物体熔化成一个物体后(不计损耗),性物体的体积是原来物体体积的和。

3、物体浸入水中,排开水的体积等于物体的体积。

第15周  长方体和正方体

把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。

第18、19周  组合图形的面积

组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。仔细观察,认真思考,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的,采用割、补、分解、代换等方法,将复杂的问题简单化。

(三)列举、置换、估值和推理问题

一、 列举

第37周 简单列举问题

列举时注意有条理,根据提议,按范围和各种情况分类考虑,做到既不重复又不遗漏,排除不符合条件的情况,缩小列举范围。

二、 置换

第34周 置换问题

把两种数量关系转换成(假设成)一种数量关系,从而找出解题方法。

三、 估值

第35周 估值问题

估值常采用的方法是:

1、省略尾数取近似值;

2、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。

四、 推理

第39周 推理问题

解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理,仔细分析,寻找突破口,并且可以借助与图表,步步深入。

(四)解决实际问题

一、一般实际问题

第7、8、9周  一般应用题

解答一般应用题时,可以借助线段图、示意图、直观演示等手段进行分析。稍复杂的问题可以通过“转化”向基本问题靠拢,使复杂问题简单化,从而正确解答。

二、特殊实际问题

第11周 周期问题

解决周期问题的关键是弄清周期数。确定周期定除数,解决问题看余数。

第12周 盈亏问题  

盈亏问题的基本数量关系是:(盈+亏)÷两次所分之差=人数;还有一些非标准的盈亏问题,分为“两盈”、“两亏”、“一盈一亏”。

第16、17周 倍数问题  

解答倍数问题,必须先确定一个数(通常选用较小的数)作为标准数,即1倍数,再根据其他几个数与这个1倍数的关系,确定“和”或“差”相当于这样的几倍,最后用除法求出1倍数。

和倍问题的数量关系是:

和数÷(倍数+1)=较小数  较小数×倍数=较大数

差倍问题的数量关系是:

差数÷(倍数-1)=较小数   较小数×倍数=较大数

第33周 包含与排除

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素个数的思考方法主要是包含与排除;先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起,再“排除”A、B两集合的公共元素的个数,即:C=A+B-AB。(AB表示A与B的相同元素组成的集合)

三、行程问题

第28、29、30、31 周 行程问题

行程问题的主要数量关系是:路程=速度×时间。知道三个量中的任意两个,就能求出第三个量。

追及问题的基本数量关系式是:

速度差×追及时间=追及路程,关键是抓住“速度差”。

行程问题大致分为以下三种情况:

(1) 相向而行:相遇时间=距离÷速度和

(2) 相背而行:相背距离=速度和×时间

(3) 同向而行:追及时间=追及距离÷速度差

第36周 火车行程问题

解答火车行程问题可记住以下几点:

1、火车过桥(或隧道)所用的时间=(桥或隧道长+火车车身长)÷火车的速度;

2、两列火车相向而行,从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和;

3、两车同向而行,快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。

(五)最值问题

第38周 最大值最小值问题

常用方法有:

1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较。

2、着眼于极端情形,即充分运用已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。

(六)解题方法

第21周 假设解题法

思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等,或者先假设两种要求的未知量是同一种量,再把假定的内容和数据加以调整,从而得到正确的答案。

第22周 作图解题法

抓住题中给出的数量关系做图,借助线段图进行分析,能够较容易的列出算式。

 

六年级知识精华

 

一、 数与代数

(一) 数的运算

第1周   定义新运算

定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。

第2、3、4、5周    简便运算

根据算式的结构和数的特征,灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式,可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简、化难为易。

第24周  比较数的大小

一些较复杂的数或式子的值的大小比较,可以灵活运用基本的比较整数、小数、分数大小的方法,有时我们还可以结合题目的特征运用特殊的比较方法。

(二)代数初步

第9周    设数法解题

在小学数学竞赛中,常常会遇到一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无解。但仔细分析就会发现,题目中缺少的条件,对于答案并无影响,这时就可以采用“设数代入法”,即对题目中“缺少”的条件,假设一个数代入(当然假设的这个数要尽量方便计算),然后进行解答。

第13周   代数法解题

有些数量关系比较复杂的分数应用题,用算术方法解答比较繁琐,甚至无法列出算式,这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

第38周   同余法解题

同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的:

两个整数a,b,如果它们除以同一自然数m所得的余数相同,则称a,b对于模m同余。记作:a≡b(mod m)。读作:a同余于b模m。

应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数,使复杂的题变简单,使困难的题变容易。

第40周   解不定方程

当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。

解不定方程是一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后在一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数前面系数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。解答应用题时,要根据题中的限制条件取适当的值。

 

二、 图形与几何

第18、19、20周   面积计算

计算平面图形的面积时,我们要认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利地达到目的;在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思考,看清组合图形是由几个基本单位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题之间的关系;对于一些比较复杂的组合图形,有时直接分解有一定的困难,这时,可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转,化难为易。

第27、28周   表面积、体积

小学阶段所学的立体图形主要有四种:长方形、正方形、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式做适当的变形,养成“数与形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。

解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点:

(1)物体沉入水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出,水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸没在水中,那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。

(2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积保持不变。

(3)求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积。

(4)求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试。

 

三、 与分数、比、百分数有关的应用题

第6、7、8周   转化单位“1”

解答较复杂的分数应用题时,我们往往从题目中找出不变的量,把不变的量看做单位“1”,将已知条件进行转化,找出所求数量相当于单位“1”的几分之几,再列式解答。

第10、11周    假设法解题

假设法解题的思考方法是先通过假设改变题目的条件,然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考,能找到巧妙的解答思路。

第12周    倒推法解题

倒推法解题是从最后的结果出发,运用加和减、乘和除之间的互逆关系,从后往前一步一步地推算,直到找到最初的数据,这种方法又常被称为“还原法”。适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件:已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体过程。

第14、15周    比的应用

我们已经学过比的知识,都知道比与分数、除法有着密切的联系,比与分数能够互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。

第17周        浓度应用题

浓度问题是百分数应用题的一种。在生活中,我们常常会碰到盐水、糖水、药水等溶液,它们是由盐、糖、药等溶质溶解在蒸馏水、水等溶剂中形成的,根据不同的需要,配制成不同浓度。浓度问题具有以下的数量关系:

溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量

浓度=溶质的质量÷溶液的质量

第21周    抓不变量解题

一些分数的分子与分母发生了加减变化,解答时关键要分析哪些量变了,哪些量没有变。抓住分子或分母,或分子、分母的差,或分子、分母的和等不变量进行分析后,再转化并解答。

 

四、 行程、工程应用题

第33、34、35周   一般行程问题

行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算,方法简单,但应注意行驶方向的变化,按所行方向的不同可分为三种:

(1)相遇问题;(2)相离问题;(3)追击问题。

行程问题的主要数量关系是:距离=速度×时间。它们大致分为以下三种情况。

(1) 相向而行:相遇时间=距离÷速度和

(2) 相背而行:相背距离=速度和×时间

(3) 同向而行:速度慢的在前,快的在后。追击时间=追击距离÷速度差在环形跑道上,速度快的在前,慢的在后。追击距离=速度差×时间

第36周   流水行程问题

划速=(顺流船速+逆流船速)÷2

水速=(顺流船速—逆流船速)÷2

顺流船速=划速+水速

逆流船速=划速-水速

顺流船速=逆流船速+水速×2

逆流船速=顺流船速-水速×2

第16、22、23周  工程问题

解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、静止地看,则难以找到明确的解题途径。如果把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径。有些工程问题中,工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显,这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路,如综合转化、整体思考等方法来解题。

 

五、 原理与策略

第25周   最大最小问题

人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题涉及的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。

第26周   加法乘法原理  

加法原理:如果一件事有n类做法,在第一类做法中有m1种不同的方法,在第二类做法中有m2种不同的方法……在第n类做法中有mn种不同的方法,如果用N表示完成这件事情做法的总数,那么就有:  N= m1+ m2+……+mn。这就叫做加法原理。

乘法原理:如果做完一件事需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。如果用N表示完成这件事做法的总数,那么就有:  N= m1× m2×……×mn。这就叫做乘法原理。

 

第29、30周  抽屉原理

基本的抽屉原理有两条:

(1)如果把x+k(k>1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

(2)如果把m×x+k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

抽屉中的元素个数随着元素总数的增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式:

元素总数=商×抽屉数+余数

如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是1,则最小数=商。

第31、32周   逻辑推理

解决这类问题常用的方法有:直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。

逻辑推理问题的解决,需要我们深入地理解条件和结论,分析关键所在,找到突破口,进行合情合理的推理,最后做出正确的判断。

解数学题,从已知条件到未知的结果需要推理,也需要计算,通常是计算与推理交替进行。而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理,而且是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生,也是小学数学竞赛中比较流行的题型。

解答综合推理问题,要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。通常从已知条件出发可以推出两个或两个以上的结论,而又一时难以肯定或否定其中任何一个时,这就要善于运用排除法、反正法逐一试验。

第37周   对策趣味题

生活中的许多事都蕴含着数学道理,小至下棋、打桥牌、玩游戏,大至体育比赛、军事较量等,人们在竞赛和斗争中总是希望自己或自己的一方获取胜利,这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略,这就是所谓知己知彼,百战不殆。哪一方的策略更胜一筹,那一方就会取得最终的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。

 

六、奥数经典专题

第39周   “牛吃草”问题

牛吃草是牛顿问题。解答这类问题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的新草,问题就容易解决了。

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